Urodził się w rodzinie ziemiańskiej o tradycjach patriotycznych i żołnierskich. Uczył się w Warszawie, Tarnowie, Krakowie i Lwowie, gdzie w 1906 roku w VI Szkole Realnej uzyskał świadectwo dojrzałości. Był współzałożycielem abstynenckiej organizacji uczniów krakowskich „Młodzież”.

W 1908 roku rozpoczął studia na Wydziale Budowy Maszyn Politechniki Lwowskiej. W kwietniu 1910 roku przeniósł się na Uniwersytet Jana Kazimierza, którego nie ukończył. Był członkiem Zarządu Głównego „Eleuterii” – federacji związków abstynenckich. Należał do „Eleusis”, „Zarzewia”, „Sokoła”.

W listopadzie 1909 roku otrzymał do przetłumaczenia (za karę) klasyczny podręcznik twórcy skautingu Roberta Baden-Powella „Scouting for Boys” („Skauting dla chłopców”). Po zapoznaniu się z jego treścią Małkowski stał się entuzjastą i propagatorem skautingu na ziemiach polskich.

W czasie pierwszego kursu skautowego 20 marca-21 maja 1911 omawiał poszczególne rozdziały przygotowywanego przez siebie podręcznika. W okresie od kwietnia do lipca 1911 ukazywała się arkuszami jego praca „Scouting jako system wychowania młodzieży” – pierwsza polska książka o skautingu. Małkowski wszedł w skład pierwszej Komendy Skautowej, następnie Naczelnej Komendy Skautowej we Lwowie. W październiku 1911 rozpoczął wydawanie „Skauta”, który wkrótce zdobył niezwykłą poczytność. Małkowski traktował skauting jako nowy styl życia i metodę odrodzenia młodzieży. W marcu 1912 roku wyjechał do Londynu w celu zebrania materiału do nowego wydania swej książki. Po powrocie został odsunięty od pracy w „Skaucie” i Naczelnej Komendzie Skautowej. W 1913 roku zorganizował wycieczkę skautową na III Wszechbrytyjski Zlot Skautów w Birmingham w Anglii, gdzie nad polskim obozem powiewała flaga z białym orłem na amarantowym tle i używano nazwy kraju wymazanego z mapy świata. Za zasługi Małkowski otrzymał od Roberta Baden Powella skautowy medal „Za zasługi”.

W czerwcu 1913 roku Małkowski przeniósł się do Zakopanego, gdzie wziął ślub z Olgą Drahonowską. Rozwijał tam ożywioną działalność, tworząc silny, niezależny ośrodek harcerski. Wraz z wybuchem wojny wstąpił na krótko do Legionów Polskich. Brał udział w pierwszych walkach, lecz zależność tych formacji od zaborcy austriackiego spowodowała jego wystąpienie. W wyniku próby utworzenia niepodległej Rzeczypospolitej Podhalańskiej musiał opuścić Zakopane. Udał się do Anglii, a potem do Stanów Zjednoczonych, gdzie zakładał polskie drużyny skautowe wśród wychodźstwa. Od września 1915 do września 1916 roku pełnił funkcję skautmistrza związkowego w Związku Sokołów Polskich w Ameryce. Próbował zorganizować z „Sokołów” Legion Polski do walki z Niemcami. Wobec braku poparcia ze strony władz związku przybył do Kanady, gdzie wstąpił w grudniu 1916 roku do wojska. W styczniu 1917 roku wraz z grupą „Sokołów” został przyjęty do Wojskowej Szkoły Piechoty, którą ukończył w kwietniu tego samego roku. Następnie służył w armii kanadyjskiej, walczył na froncie we Francji. W listopadzie 1918 roku został przeniesiony do armii gen. Józefa Hallera. Wysłany w misji wojskowej do polskich oddziałów w Odessie do generała Lucjana Żeligowskiego, zginął w nocy 15/16 stycznia 1919 roku w wyniku zatonięcia statku, którym płynął.

Statek ten – był to zbudowany w 1896 roku we Vlissingen w Holandii parowiec pasażerski „Chaouia”. Wprowadzony do służby w lipcu 1896 roku i nazwany „Królową Wilhelminą” – miał 4.249 BRT, 120,7 m długości i około stu miejsc pasażerskich w dwóch klasach, a parowe maszyny o mocy 3.600 KM pozwalały mu na rozwinięcie prędkości 13,5 w. Zbudowano go dla utworzonej w 1870 roku kompanii pod nazwą Stoomvaart Maatschappij „Nederland”, jako pierwszy parowiec krajowej budowy we flocie tego sławnego w swoim czasie armatora. W samym końcu 1911 roku statek sprzedano francuskiej firmie Compagnie de Navigation Marocaine et Arménienne (N. Paquet & Cie., potem Cie. de Nav. Paquet). W styczniu 1919 roku znacznie przeładowany parowiec płynął z Marsylii do portów Lewantu i w nocy z 15 na 16 stycznia 1919 wpadł na minę. Zatonął w ciągu kilkunastu minut, zabierając ze sobą w głębinę ponad siedemset osób.

Po tragicznej śmierci Andrzeja, jego żona Olga Drahonowska-Małkowska nadal propagowała ideę skautingu w Wielkiej Brytanii i w Polsce. W emigracyjnym harcerstwie działał też ich jedyny syn Lutyk Małkowski, a potem wnuczka Krystyna (oboje mieszkający na stałe w Wielkiej Brytanii)